Sexta-feira, 30 de julho de 2021 - 06h02
Bagé, 30.07.2021
O Coronel de
Engenharia Higino Veiga Macedo, meu Caro AMIGO e MENTOR (com letras maiúsculas
mesmo), enviou-me outro texto de sua autoria que faço questão de compartilhar
com os leitores.
Carta ao Felipe – Geometria e Potência de
Números
Por Higino Veiga
Macedo, João Pessoa, PB, 26.07.2020
Felipe (*):
Quero escrever
sobre algo que não vi em livros sobre aritmética ([1])
e geometria ([2]). Estou todo enrolado
como começar. Gostaria de começar pelos gregos antigos, mas tenho medo de ter
entendido errado e passar algo errado. Mas vou procurar me conter sobre eles.
Vou arriscar. Vou seguir Descarte: se não sei começar, começo qualquer coisa e vou
me corrigindo no caminho.
A geometria se
fundamenta em Euclides (de Alexandria). Não se sabe ao certo seu local de
nascimento e morte, mas apenas que viveu durante o reinado de Ptolomeu Sóter
(Ptolomeu I – entre 323 a.C. e 283 a.C. Egito). Esses “Ptolomeus” foram
descendentes de um General de Alexandre. Euclides era pitagórico.
Lendo a obra de
Bertrand Russell entendi que, no meio do caminho, Pitágoras sente a necessidade
de juntar a aritmética com a geometria. A coisa passa pelo seu teorema.
Entretanto, há quem diga ([3])
que o teorema na verdade não é dele.
O conceito era de
conhecimento mais antigo (indus, egípcios, babilônios). Há a máxima atribuída a
ele: “tudo é número”. Pelo que entendi até agora, a junção da aritmética com a
geometria deu origem à matemática ([4]).
Pitágoras então é o grande mentor da junção da geometria e a aritmética com seu
clássico, simples e desafiante teorema.
Quando iniciei o estudo de Geometria
Descritiva (1° ano científico), o professor, um suíço de nome Demichelis (deve
ser esta a grafia), deu um susto na sala. Disse que era uma matéria muito
fácil. Tudo começava pelo PONTO, passava pela RETA, seguia pelo PLANO e chegava
ao SÓLIDO. A RETA nada mais era que UM PONTO se deslocando numa
direção; poderia ser ainda INFINITOS
PONTOS um ao lado do
outro; infinitas retas construía o PLANO; infinitos planos construía o SÓLIDO.
Apenas, e somente apenas, um detalhe: o PONTO NÃO EXISTE. Qualquer que seja
o instrumento que se use para aumentar a visão do ponto, ele será uma
circunferência, uma área. Mas, adimensional (sem medidas). Vai ao infinito.
Aí vêm as brigas de
filósofos gregos: uns diziam que o infinito existe, como o ponto; outros diziam
que tudo tinha uma finitude (o infinito não existe): a menor parte que se
obtinha era o átomo (indivisível, em grego); outros provavam que havia o
infinito: Paradoxo de Zenão – a corrida de Aquiles contra a tartaruga (que
tenho certeza seria um jabuti e não tartaruga que é da água).
E para complicar
mais, quando se lança o ponto ou a reta ou o plano, na dita geometria plana, e
ou os sólidos, na geometria espacial, o papel no qual se desenha é um plano.
Mas o papel plano, que tem comprimento e largura, tem uma espessura sempre
desprezível. A espessura é do papel, não do desenho. O que forçamos o cérebro
para ler a terceira dimensão (sólido, espaço), na verdade é desenhado num
plano. O coitado do cérebro que se vira para ver a terceira dimensão, a profundidade,
a perspectiva.
Admiro os clássicos
exatamente por eles terem escrito isso tudo sem régua, sem esquadro, sem
medidas-padrão, sem compasso, sem lápis, sem papel e sem borracha. Desconfia-se
que desenhavam na areia. E no cérebro. Bom, tudo isso para dizer que a ciência,
hoje, é o que é depois que filósofos juntaram geometria e aritmética,
inventando a MATEMÁTICA: Pitágoras, Platão, Euclides, Descarte, Gaspard
Mong, Newton, Leibniz, Einstein e até Stephen Hawking. O que eu proponho é
entender a relação entre a potenciação dos números e as figuras geométricas
euclidianas (sem endoidar em decorar os princípios e teoremas e axiomas).
Imagino que ficará mais fácil entender as raízes, logaritmos e outras unidades
muito grandes e ou muito pequenas.
1) A POTENCIAÇÃO
Particularmente acho que, sem entender as regras
básicas da potenciação, muito dificilmente se entenderá álgebra, logaritmo,
trigonometria, enfim, a junção maior da geometria e matemática formando a geometria analítica. Sempre achei engraçado: as equações são mais
letras que números. Mas “tudo é número”. Aqui, é melhor usar o número três
porque, a partir dele, se chega a qualquer outro. Portanto, será BASE 3.
Economiza-se trabalho braçal. Para o entendimento basta chegar ao 37. Para facilitar, uma tabela:
Item (*) |
Potência |
Valor |
Representação |
Figuras |
1 |
30 |
1 |
31/31 =
3 1-1 = 30 = 1 |
Unidade (u) |
2 |
31 |
3 |
3X1u = 3 |
Reta |
3 |
32 |
9 |
3X3 = 9 |
Plano |
4 |
1X32 |
9 |
1 X 3X3 = 9 |
Prisma1 |
5 |
2X 32 |
18 |
2 X 3X3 |
Prisma2 |
6 |
33 |
27 |
3X (3X3) ® 3 X 32 = 33 |
Cubo |
7 |
34 |
81 |
(3X) X (3X3X3) ® 3 X 33 |
3 x Cubos |
8 |
35 |
243 |
(3X3) X (3X3X3) ® 32 X 33 |
Plano de Cubo |
9 |
36 |
729 |
(3X3X3) X (3X3X3) ® 33 X 33 |
Cubo de Cubos |
10 |
37 |
2187 |
3 X (3X3X3) X (3X3X3) ® 3 X 33 X 33 |
3x(Cubo de Cubos) |
(*) cada item será uma
consideração.
2) A GEOMETRIA
A geometria passará
pela reta, pelo plano e pelo sólido.
A medida será
tratada como uma unidade de medida ou u;
3) A COMPOSIÇÃO
É a tentativa de, ao ver um, ver também o outro: aritmética e geometria.
1ª CONSIDERAÇÃO ‒ (Figura 01)
Geometria ‒ Uma reta (semirreta), com VALOR padrão admitido
como UNIDADE PADRÃO; Estabelece-se valor do comprimento (maior medida) e ou
largura (segunda medida que estabelece o plano). Uma ou outra serão semirretas
e se cruzam.
1ª |
30 |
1 |
31/31
= 3 1-1 = 30 = 1 |
Unidade (u) |
Aritmética ‒ uma unidade (1u) como medida: VALOR padrão
admitido como UNIDADE PADRÃO.
2ª CONSIDERAÇÃO – (Figura 02)
2ª |
31 |
3 |
3X1u = 3 |
Reta |
Geometria ‒ Semirreta (reta) que pode ser comprimento ou
largura com valor de UNIDADE PADRÃO variável.
Aritmética – Neste exemplo, toma-se três unidades-padrão = 3u
como medida.
3ª CONSIDERAÇÃO – (Figura 03)
3ª |
32 |
9 |
3X3 = 9 |
Plano |
Geometria ‒ Plano ‒ Na geometria passa-se da Reta ao Plano.
Sempre contido numa SUPERFÍCIE ([1]),
Tem-se a Área. A área é L x L ou L2. Mas o Plano não existe, porque
não existe a reta e não existe o ponto. É um ente intuído, imaginado,
concebido. O Plano, a superfície, sempre contido num ESPAÇO.
Aritmética ‒ Na aritmética se entra na Potenciação. Este plano
é um quadrado de 3 medidas de lado (3u) – 3X3. Deixou de ser uma medida só. Tem
duas: comprimento e largura, que no caso são iguais. Portanto, 3x3 é também uma
Figura geométrica quadrada. Sua área, a superfície que ocupa, é de 9 unidades
quadradas, ou seja, 3x3 = 32 = 9. Não tem altura.
4 ª CONSIDERAÇÃO ‒ (Figura 04)
4ª |
1X32 |
9 |
1 X 3X3 = 9 |
Prisma1 |
Geometria - Na geometria se entra pelo sólido (prisma). É uma
área (superfície) com uma unidade (1u) em terceira dimensão o que estabelece
volume (espaço). Aqui entra uma consideração que sei, mas não me lembro da
fundamentação. É o conceito de “o infinito estar contido no finito”. Entre dois
números inteiros, há as subdivisões que variam do zero ao mais infinito. Ou
seja: em [n e n+1] = n/∞. Como se viu, o plano não existe. Para chegar ao valor
da unidade “u” é como se fossem colados, plano sobre plano, infinitos planos.
Aritmética -
Portanto, se vê 1 X
3 X 3 pela Figura. É como se levantasse dois planos, na média de “1u”.
Considerando as unidades, tem-se: 1 x 3 x 3 = 9 unidades; se considerar o
plano, serão nove unidades quadradas; se considerar a unidade, da geometria
espacial, se terá 9 unidades de volume.
5ª
CONSIDERAÇÃO ‒ (Figura 05)
5 |
2X 32 |
18 |
2 X 3X3 |
Prisma2 |
Geometria ‒ Também é um sólido. Este valor é o valor da área
do quadrado com duas (2u) unidades na terceira dimensão. Portanto também em um
prisma. É o dobro da consideração 04.
Aritmética ‒ Na potenciação tem-se 2 X 3 X 3 ou 2 X 32.
Ou seja, têm-se o quadrado de três unidades no plano e duas unidades (2u) na
terceira dimensão; se considerar a unidade, da geometria espacial, se terá 2 x
9 unidades de volume ou se tem 18 unidades de volume. Vale a consideração de
infinitos planos colados até o valor de “2u”.
6ª CONSIDERAÇÃO – (Figura 06)
6ª |
33 |
27 |
3X (3X3) ® 3 X 32
= 33 |
Cubo |
Geometria – A Figura (imagem) geométrica espacial é um CUBO
ou hexaedro para os euclidianos. Trata de volume (espaço). E a representação
aritmética também o chama cubo - o volume é L3 ou seja LxLxL; É
prisma, hexaedro, com nome próprio – CUBO;
Aritmética – Trata de 33.
É um plano, com a mesma medida na terceira dimensão. Assim têm-se três medidas
iguais, o que cria a imagem do cubo; as medidas, para o cálculo do volume do
cubo, no caso de três unidade é: 3x3x3 ou 33. Considerando a
unidade, tem-se então 27 unidades de volume. Agora a medida será igual a uma
medida de volume: U = u3. Penso que se pode falar não mais de
“unidade de volume”, mas sim da real unidade, ou seja, unidade cúbica: m3;
pol3; pés3.
7ª CONSIDERAÇÃO ‒ (Figura 07)
7ª |
34 |
81 |
(3X) X (3X3X3) ® 3 X 33 |
3 x Cubos |
Geometria ‒ As considerações seguintes serão em função do
CUBO. Claro que as potências viajam por diferentes bases e expoentes, mas a Figura
geométrica fica retida no cubo. Na verdade, tais cubos formariam uma semirreta,
unidos face a face, lado a lado como se infinitos pontos fossem. Como lá na
reta. Teria a representação de uma semirreta de 3 unidades de cubos.
Aritmética – Este item trata então de 34; Mas o que
é esta potência? Sua representação é 3 X 3 X 3 X 3 ou 34 ou ainda 3x
33. Isto é, têm-se três grupos de três ao cubo. Em unidades cúbicas
é igual a. 81. (Figura 07).
8ª CONSIDERAÇÃO – (Fig 08)
8ª |
35 |
243 |
(3X3) X (3X3X3) ® 32
X 33 |
Plano de Cubo |
Geometria – Agora tudo se volta para o número de cubos,
formando desenho geométrico correspondendo a valores potencializados que aqui a
base é 3 e os expoentes variados. Na Figura geométrica se terá “um quadrado
formado de três cubos” de lado. Pela dificuldade de desenho, ficará
representado, mas deveria ser cubos face a face, lado a lado.
Aritmética – Aqui se tem 35 (3x3) x (3x3x3) isto é,
pode-se ler um quadrado de cubos. A imagem aritmética fica assim: 32
x 33 O valor unitário, cúbicos, será: 3x3x3x3x3 = 243. Ou ainda 9
cubos com 27 unidades cúbicas, igual a 243 unidades cúbicas, unidades de volume.
9ª CONSIDERAÇÃO – (Figura 09)
9ª |
36 |
729 |
(3X3X3) X (3X3X3) ® 33 X
33 |
Cubo de Cubos |
Geometria ‒ A Figura fica difícil de ser reproduzida sem a
ajuda de algo como um programa de desenho arquitetônico (tipo CAD). Nessa nona
consideração, tem-se um cubo formado por cubos. Cubo de cubo. Para tal a “Figura
06” será repetida com a consideração de que cada unidade cúbica represente um
cubo de três unidades.
Aritmética ‒ Nessa nona consideração que é ‒ 36, a Figura
aritmética é 33 x 33. Ou (3x3x3) x (3x3x3); ou (33)2.
O valor em unidades cúbicas será 36 = 729.
10ª CONSIDERAÇÃO – (Figura 10)
Geometria – A dificuldade da representação também é alta. Mas
com a mesma boa vontade da nona consideração fica mais fácil partindo do ponto
em que a leitura aritmética é para três cubos formados por cubos. Então serão
três cubos de cubos. Com o mesmo critério, repete-se a Figura 07 considerando
que cada unidade seja um cubo de 3;
Aritmética – A consideração
aqui é o número 3 elevado à 7ª potência ou 37. A leitura é 3 X 33
X 33; O valor em unidades cúbicas é 37 = 2.187. O que
chama a atenção é o valor em unidades. Por isso serem os crescimentos rápidos
chamados de exponencial, uma vez que os expoentes aceleram os valores.
4. Considerações Finais
Se alimentar a
curiosidade a coisa tende ao infinito, infinito o qual Sócrates queria que
ficasse no átomo (indivisível) e que Zenon defendeu colocando Aquiles para
competir com um jabuti.
A geometria plana
(superfície) acompanha a espacial sendo claro o fundamento de qualquer tipo de
geometria mesmo depois de a geometria analítica incorporar as curvas, “a
posteriori”. Felipe, penso eu que, depois dessa carta, ao trabalhar com números
apenas, você se lembre de que junto tem uma Figura, seja por elevar ao quadrado
ou ao cubo. Até mesmo as potências maiores. Aqui se foi até à sétima potência.
NAMASTE, Felipe!!!
PS: ‒ A loucura dos
teoremas de Euclides: em 1 ponto passam ∞ retas; agora, em dois pontos, só
passa 1 única reta; em 1 reta passam ∞ planos, mas, em 2 retas, só passa 1
único plano.
(*) FELIPE – Felipe Taumaturgo Macedo de Sousa, filho de
Karina T.M de Sousa e Manoel de Sousa Junior, meu neto. Nesse instante tem 9
anos de idade, cursa a 6ª série no Colégio Militar de Brasília. O presente
texto é uma carta, de tantas outras que deixarei a ele, para serem lidas e
entendidas quando adulto. Hoje Felipe é habilitado, com fluência escrita e
falada, em inglês e habilitado em espanhol.
Solicito Publicação
(*) Hiram Reis e Silva é Canoeiro, Coronel de Engenharia, Analista de
Sistemas, Professor, Palestrante, Historiador, Escritor e Colunista;
· Campeão do II
Circuito de Canoagem do Mato Grosso do Sul (1989)
· Ex-Professor
do Colégio Militar de Porto Alegre (CMPA) (2000 a 2012);
· Ex-Pesquisador
do Departamento de Educação e Cultura do Exército (DECEx);
· Ex-Presidente
do Instituto dos Docentes do Magistério Militar – RS (IDMM – RS);
· Ex-Membro do
4° Grupamento de Engenharia do Comando Militar do Sul (CMS)
· Presidente da
Sociedade de Amigos da Amazônia Brasileira (SAMBRAS);
· Membro da
Academia de História Militar Terrestre do Brasil – RS (AHIMTB – RS);
· Membro do
Instituto de História e Tradições do Rio Grande do Sul (IHTRGS – RS);
· Membro da Academia
de Letras do Estado de Rondônia (ACLER – RO)
· Membro da
Academia Vilhenense de Letras (AVL – RO);
· Comendador da
Academia Maçônica de Letras do Rio Grande do Sul (AMLERS)
· Colaborador
Emérito da Associação dos Diplomados da Escola Superior de Guerra (ADESG).
· Colaborador
Emérito da Liga de Defesa Nacional (LDN).
E-mail: hiramrsilva@gmail.com
[1] Aritmética ‒
arithmētikḗ (tékhnē) ‒ técnica ou ciência dos números.
[2] Geometria ‒
literal é: “medir a terra”; é uma das três grandes áreas da Matemática,
ao lado de cálculo e álgebra; compreende: planos e sólidos (plana e espacial).
[3] Historiador
Dick Teresi, em seu livro Lost Discoveries (Descobertas Perdidas).
[4] Matemática ‒ mathe que significa aprender e o sufixo ‒ ática que indica relação, pertencer a;
[5] Plano –
Superfície (lat. super- + facĭes,ēi ) ocupada; Área – superfície medida pelo
quadrado;
Qualquer Semelhança não é Mera Coincidência – X
Bagé, 20.12.2024 Continuando engarupado na memória: Tribuna da Imprensa n° 3.184, Rio, RJSexta-feira, 25.10.1963 Sindicâncias do Sequestro dão e
Qualquer Semelhança não é Mera Coincidência – VI
Silva, Bagé, 11.12.2024 Continuando engarupado na memória: Jornal do Brasil n° 224, Rio de Janeiro, RJ Quarta-feira, 25.09.1963 Lei das Selvas T
Qualquer Semelhança não é Mera Coincidência – IV
Bagé, 06.12.2024 Continuando engarupado na memória: Jornal do Brasil n° 186, Rio de Janeiro, RJSábado, 10.08.1963 Lacerda diz na CPI que Pressõessã
Qualquer Semelhança não é Mera Coincidência – III
Bagé, 02.12.2024 Continuando engarupado na memória: Jornal do Brasil n° 177, Rio de Janeiro, RJQuarta-feira, 31.07.1963 JB na Mira O jornalista H